2.0 Die nebenstehende Skizze zeigt ein Schrägbild der Pyramide mit der Höhe , deren Grundflächedie Raute mit dem Diagonalenschnittpunkt ist.
Es gilt: . Runden Sie im Folgenden auf zwei Stellen nach dem Komma.
2.1 Zeichnen Sie das Schrägbild der Pyramide , wobei die Strecke auf der Schrägbildachse und der Punkt links vom Punkt liegen soll. Für die Zeichnung gilt: . Berechnen Sie sodann die Länge der Strecke und das Maß des Winkels . [Teilergebnis: ]
2.2 Punkte liegen auf der Strecke mit . Sie sind Mittelpunkte von Strecken mit und . Punkte sind Spitzen von Pyramiden mit den Grundflächen und den Höhen , wobei gilt: . Zeichnen Sie die Pyramide und die zugehörige Höhe für in das Schrägbild zu 2.1 ein.
2.3 Zeigen Sie rechnerisch, dass für das Volumen der Pyramide gilt: . Bestimmen Sie sodann den prozentualen Anteil des Volumens am Volumen der Pyramide .
2.4 In der Pyramide gilt: . Bestimmen Sie rechnerisch den zugehörigen Wert für .
2.5 Zeigen Sie, dass für die Höhen der Pyramiden in Abhängigkeit von gilt: .
2.6 Begründen Sie, weshalb es unter den Pyramiden keine Pyramide mit gibt.
Lösung anzeigen
Teilaufgabe B 2.1
Schrägbild der Pyramide ABCDS:
- Gerade g mit
- Da ist, ist die Strecke [MD] = [BM] auf der Zeichnung 3 cm lang (siehe nächste Abbildung rot)
- Die Eckpunkte werden nun miteinander verbunden, so erhältst du die Grundfläche der Pyramide.
- Pyramidenspitze S wird nun mit den Eckpunkten der Grundfläche verbunden.
Maß des Winkels SCA:
|
Teilaufgabe B 2.2
Pyramide :
- und H liegt auf der Strecke [AC].
- Fälle anschließend das Lot an H auf [AC] (nächste Abbildung).
- k(C; [SC]): Kreis um Mittelpunkt C mit Radius [SC].
- Die Lotgerade und der Kreis schneiden sich im Punkt R.
- Zeichne eine parallele Gerade zu [BD] mit dem Abstand .
- Q ist der Schnittpunkt auf [AD] und P der Schnittpunkt auf [AB].
- Eckpunkte verbinden.
Teilaufgabe B 2.3
Volumen der Pyramide
Die Grundfläche setzt sich aus zwei Dreiecken zusammen:
+ .
- Dafür fehlt die Länge [PQ].
[PQ] über den Strahlensatz:
- Flächenberechnung der Dreiecke:
- Grundfläche
Höhe [HR] im rechtwinkligen Dreieck HCR mit dem Satz des Pythagoras:
(Achtung: )
Volumen der Pyramide ABCDS:
Man kann die Pyramide in zwei Pyramiden teilen mit der dreieckigen Grundfläche () und Höhe h.
Der prozentuale Anteil des Volumens am Volumen V:
Teilaufgabe B 2.4
Der Wert x in der Pyramide mit = 6 cm:
Im rechtwinkligen Dreieck HCR kann man [HC] über den Satz des Pythagoras ermitteln.
Teilaufgabe B 2.5
Im Dreieck HCR mit dem Satz des Pythagoras:
binomische Formel
Klammer auflösen
zusammenfassen
Wurzel ziehen
Teilaufgabe B 2.6
Wenn es eine Pyramide mit gäbe, dann würde gelten: und damit ist
[CH] wäre damit länger als [AC]. Dies kann aber nicht sein, da H auf [AM] liegt.