3.0 Gegeben ist das Rechteck . Punkte auf der Seite und Punkte auf der Seite legen zusammen mit dem Punkt Dreiecke fest. Die Winkel haben das Maß mit
Es gilt: ; .
Die Skizze zeigt das Dreieck für .
3.1 Begründen Sie, weshalb die Winkel stets das Maß haben
3.2 Zeigen Sie rechnerisch, dass für die Länge der Strecken in Abhängigkeit von gilt:
3.3 Berechnen Sie die Länge der Strecke . Runden Sie auf zwei Nachkommastellen.
Lösung anzeigen
Teilaufgabe 3.1
Der Winkel :
Da es sich um ein Rechteck handelt, wissen wir, dass .
Somit sind die Winkel und (beide grün) Wechselwinkel und somit gleich groß:
.
Die Dreiecke und sind somit winkeltreu (sie haben gleiche Winkel), damit muss der dritte Winkel auch gleich groß sein: (rot).
Teilaufgabe 3.2
Die Länge der Strecken [] in Abhängigkeit von :
Wir müssen also zunächst berechnen, dazu fehlt uns noch die Seite .
Die Seite (blau) im rechtwinkligen Dreieck mit Hilfe der Trigonometrie:
Die Seite (blau) im rechtwinkligen Dreieck mit Hilfe der Trigonometrie:
|
Einsetzen der Ergebnisse in die Formel:
Teilaufgabe 3.3
Die Länge der Strecke mit
Wir setzen in die Formel ein: