2.0 Gegeben sind Sechsecke mit der Symmetrieachse . Der Punkt ist der Mittelpunkt der Strecken und .
Es gilt: und .
Die Winkel haben das Maß und die Winkel haben das Maß mit
Die Zeichnung zeigt das Sechseck für .
2.1 Zeigen Sie, dass für die Längen der Strecken und in Abhängigkeit von gilt: und
2.2 Die Sechsecke rotieren um die Gerade .
Zeigen Sie, dass für den Oberflächeninhalt der entstehenden Rotationskörper in Abhängigkeit von gilt:
.
2.3 Für das Sechseck gilt: .
Zeichnen Sie das Sechseck in die Zeichnung zu 2.0 ein.
Berechnen Sie sodann den Oberflächeninhalt des zugehörigen Rotationskörpers. Runden Sie auf zwei Nachkommastellen.
Lösung anzeigen
Teilaufgabe 2.1
Die Längen der Strecken und :
Da der Mittelpunkt der Längen und ist, ist die gesuchte Länge .
im rechtwinkligen Dreieck (rot) mithilfe der Trigonometrie:
|
Daraus folgt:
Da G der Mittelpunkt der Längen und ist, ist die gesuchte Länge .
Wir gehen wie oben vor:
im rechtwinkligen Dreieck (rot) mithilfe der Trigonometrie:
|
Teilaufgabe 2.2
Oberflächeninhalt von dem entstehenden Rotationskörper:
Der Rotationskörper setzt sich aus zwei Kegeln zusammen, daher können wir die Oberfläche wie folgt berechnen:
(grün) + (blau) - (Kreisfläche zwischen den Kegeln)
Allgemein: s
Wir kennen die Radien der beiden Kegel, benötigen aber bei beiden Kegeln noch die Seitenlänge s.
- Seitenlänge : Im rechtwinkligen Dreieck (siehe oben) mit Hilfe der Trigonometrie:
- Seitenlänge : Im rechtwinkligen Dreieck (siehe oben) mit Hilfe der Trigonometrie:
Jetzt können wir die Seitenlängen in die Formel einsetzen:
Sortieren wie in der Angabe.
Teilaufgabe 2.3
Zeichnung des Sechsecks :
Es gilt: , das Dreieck ist folglich gleichseitig und gleichwinklig: .
Ausführliche Zeichnung:
- Wir wissen, dass ist, folglich können wir an zwei -Winkel messen (blau und grün) und die beiden Halbgeraden zeichnen.
- Die Halbgeraden schneiden die Seite in den Punkten und (rot).
Oberflächeninhalt des Körpers für :
Setze ein.
Klammere aus.
Fasse zusammen.