3.0 Gegeben sind Drachenvierecke mit der Symmetrieachse . Punkte sind die Mittelpunkte der Strecken . Die Winkel haben das Maß mit
Es gilt: und
Die nebenstehende Zeichnung zeigt das Drachenviereck für .
3.1 Zeigen Sie durch Rechnung, dass für die Längen der Strecken und in Abhängigkeit von gilt:
und
3.2 Die Drachenvierecke rotieren um die Gerade .
Bestätigen Sie rechnerisch, dass für das Volumen der entstehenden Rotationskörper in Abhängigkeit von gilt: .
3.3 Eine der folgenden Aussagen zu den Rotationskörpern aus 3.2 ist richtig. Kreuzen Sie diese Aussage an.
Lösung anzeigen
Teilaufgabe 3.1
Die Längen der Strecken [] und :
- im rechtwinkligen Dreieck mithilfe der Trigonometrie:
Warum rechtwinklig?
Da Mittelpunkte der Strecke [] sind und , ist das Dreieck gleichschenklig. Daraus folgt, dass die Winkel .
Umformung: \cdot3\;\text{cm}
- .
im rechtwinkligen Dreieck mithilfe der Trigonometrie:
Umformung: \cdot3\;\text{cm}
Teilaufgabe 3.2
Das Volumen des Rotationskörpers in Abhängigkeit von :
Teilaufgabe 3.3
Richtige Aussagen zu den Rotationskörpern aus A 3.2:
- Es gibt einen Rotationskörper mit einem Volumen von .
Wenn ist, kann ich berechnen, indem ich nach auflöse:
Umformung: :\ \left(6\cdot\pi\ \;\text{cm}^3\right)
Umformung: \sqrt{ }
Umformung: \sin^{-1}
Laut der Angabe aus 3.0 darf der Winkel nicht gleich werden:
Folglich ist die erste Aussage falsch.
- Die Rotationskörper haben ein Volumen von höchstens .
Wenn sehr klein ist, ist auch sehr klein, und dann ist auch . Damit ist . Also ist auch Aussage 2 falsch.
- Für das Volumen V gilt: .
Diese Aussage ist richtig, da für immer ist.
Zum Beispiel für
- Für das Volumen V gilt: .
Diese Aussage ist wegen falsch.