2.0 Gegeben ist die Funktion mit der Gleichung .
Im Koordinatensystem ist für der Graph zu eingezeichnet.
2.1 Zeichnen Sie für den Graphen zu in das Koordinatensystem zu 2.0 ein und geben Sie die Wertemenge von an.
2.2 Punkte mit der Abszisse liegen auf dem Graphen zu mit . Sie legen mit Punkten und Quadrate fest.
Die x-Koordinate der Punkte ist um 2 größer als die Abszisse der Punkte , die y-Koordinate der Punkte ist um 1 größer als die -Koordinate der Punkte Zeichnen Sie die Quadrate für und für
in das Koordinatensystem zu 2.0.
2.3 Begründen Sie, weshalb alle Quadrate den gleichen Flächeninhalt haben, und geben Sie diesen an.
2.4 Zeigen Sie, dass für die Koordinaten der Punkte in Abhängigkeit von der Abszisse der Punkte gilt: .
2.5 Der Punkt des Quadrats liegt auf der –Achse.
Geben Sie die Koordinaten des Punktes an.
Lösung anzeigen
Teilaufgabe 2.1
Zeichnung der Funktion mit Hilfe einer Wertetabelle:
x | -6 | -5,5 | -5 | -4,5 | -4 | -3,5 | -3 | -2,5 |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
y | 0,99 | 0,99 | 0,98 | 0,97 | 0,94 | 0,85 | 0,5 | -3 |
Berechnungsbeispiel
Jetzt können wir die Punkte einzeichnen:
Wertemenge der Funktion f:
Wir sehen, dass sich der y-Wert der 1 immer weiter annähert, je kleiner x wird (geht man an der x-Achse nach links), aber nie gleich 1 wird. Die Asymptote der Hyperbel liegt also bei .
{1}
Teilaufgabe 2.2
Berechnung der Koordinaten der Eckpunkte der Quadrate und :
Quadrat :
- (x|) für :
- Die x-Koordinaten der Punkte sind um zwei größer:
- Die y-Koordinaten der Punkte sind um eins größer:
So erhalten wir die Punkte und .
- Wir können nun die Punkte und in das Koordinatensystem eintragen und verbinden.
- Da es sich um ein Quadrat handelt wissen wir, dass alle Seiten gleich lang sind.
- Wir können folglich zwei senkrechte Linien zur Strecke [] durch die Punkte und zeichnen (siehe Bild).
- Anschließend nehmen wir die Strecke in den Zirkel und übertragen die Länge auf die beiden Halbgeraden: () und
- Die Schnittpunkte der Kreise und der Senkrechten sind die Eckpunkte und .
Quadrat : Wir gehen wie oben vor.
Lösungsweg
- für :
- Die x-Koordinaten der Punkte sind um zwei größer:
- Die y-Koordinaten der Punkte sind um eins größer:
So erhalten wir die Punkte und .
Teilaufgabe 2.3
Flächeninhalt A der Quadrate :
Die Länge aller Seiten der Quadrate ist konstant. Damit haben alle Quadrate den gleichen Flächeninhalt.
Berechnung des Flächeninhalts:
Die Seite [] können wir über das Dreieck (siehe rechte Abbildung) mit dem Satz des Pythagoras berechnen.
Es ist .
Entsprechend gilt:
Nun können wir den Flächeninhalt berechnen.
Für alle Quadrate gilt:
5 FE
Teilaufgabe 2.4
Koordinaten der Punkte in Abhängigkeit von x:
Weg 1: Mithilfe der Vektoren
Wir erhalten folgende Koordinaten:
Weg 2:
Wir kennen und wissen, dass
- Die x-Koordinaten der Punkte sind um zwei größer:
- Die y-Koordinaten der Punkte sind um eins größer:
Somit haben wir die Koordinaten von .
Die Pfeile in der rechten Abbildung zeigen noch einmal bildlich, wie ich von zu komme, indem ich in Richtung der x-Achse und in Richtung der y-Achse wandere.
Der Weg von zu verläuft wie in der Abbildung sichtbar in Richtung der y-Achse und in Richtung der x-Achse:
Folglich hat folgende Koordinaten:
)
Teilaufgabe 2.5
Koordinaten des Punktes des Quadrates für :
Wir kennen die Koordinaten von .
Die x-Koordinate wird , wenn ich für einsetze :