Gegeben ist die Funktion h: mit maximalem Definitionsbereich .
Geben Sie an und zeigen Sie, dass für den Term der Ableitungsfunktion h′ von h gilt:
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Die Logarithmusfunktion ist nur für positive Argumente definiert.
Das Argument des ist hier . Quadrate sind nie negativ und nur gleich Null, wenn die Basis gleich Null ist. Also gilt für den Definitionsbereich .
Zur Berechnung der 1. Ableitung benötigt man die Produktregel: Also ist
Kettenregel: Eine verkettete Funktion besteht aus äußerer und innerer Funktion. Die Kettenregel lautet: Ableitung der verketteten Funktion ist gleich der Ableitung der äußeren Funktion (an Stelle der inneren Funktion) mal Ableitung der inneren Funktion.
Bestimmen Sie die -Koordinate des im II. Quadranten liegenden Hochpunkts des Graphen von .
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Die Nullstellen der 1. Ableitung sind mögliche Extremstellen.
Daher setzt man:
Also:
.
Somit gibt es zwei mögliche Lösungen.
Nämlich:
Da nach dem Hochpunkt im II. Quadranten gefragt ist, liegt der (mögliche) Hochpunkt an der Stelle .
.
Vorzeichenverhalten von h':
Links von liegt etwa .
Und
Rechts von liegt etwa .
Und .
Somit hat man an den Hochpunkt .