Es gibt viele Zahlenpaare positiver Zahlen, deren Produktwert 0,64 beträgt.
a) Gib 10 solcher Zahlenpaare an.
b) Ermittle dasjenige Zahlenpaar, das den kleinsten Summenwert besitzt.
Lösung anzeigen
Teilaufgabe a
Für diese Teilaufgabe gibt es viele Lösungen. Du kannst zum Beispiel diese 10 Zahlenpaare angeben:
(0,1|6,4), (0,8|0,8), (1|0,64), (2|0,32), (4|0,16), (8|0,08), (10|0,064), (16|0,04), (32|0,02), (64|0,01).
Teilaufgabe b
Ein allgemeines Zahlenpaar kannst du schreiben als mit zwei Zahlen und , die du noch bestimmen musst.
Da nach jenem Zahlenpaar gesucht ist, dass den kleinsten Summenwert besitzt, musst du die Funktion unter der Nebenbedingung minimieren.
Löst du die Nebenbedingung nach auf, so erhältst du den Zusammenhang
den du in die Funktion einsetzen kannst. Das bedeutet:
Gesucht ist also das Minimum dieser Funktion. Kandidaten für Extremstellen von sind als Nullstellen von gegeben. Die erste Ableitung von berechnet sich zu
Setzt du das eben berechnete gleich null, so erhältst du als Lösungen
Da nach einem Zahlenpaar positiver Zahlen gesucht ist, kannst du die negative Lösung vernachlässigen. Um die Art des Extremums zu verifizieren (gesucht ist ja ein Minimum), berechnest du die zweite Ableitung. Sie ist gegeben durch
Setzt du in ein, erkennst du, dass
gilt, sodass bei tatsächlich ein Minimum von vorliegt.
Setzt du in die Nebenbedingung ein, so erhältst du
Das gesuchte Zahlenpaar ist also .