Betrachtet werden n-Ecke¹, bei denen alle Innenwinkel kleiner als 180° sind. Solche n-Ecke nennt man „konvex“. Die Anzahl d der Diagonalen in einem konvexen n-Eck kann mit der Formel berechnet werden.
¹ Unter einem „n-Eck“ versteht man ein Vieleck, das n Ecken hat.
Berechne mithilfe der Formel die Zahl der Diagonalen in einem konvexen 5-Eck. Bestätige das Ergebnis mithilfe einer geeigneten Skizze.
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Errechne d mit Hilfe der Formel für n=5
Die Anzahl der Diagonalen in einem konvexen Fünfeck beträgt 5. In der Skizze sind die Diagonalen rot eingezeichnet.
Katja wundert sich, dass die Formel trotz des Bruchstrichs für jede natürliche Zahl n als Ergebnis immer eine ganze Zahl liefert. Robert kann ihr dies anhand der Formel erklären. Er beginnt so: „Ich unterscheide zwei Fälle: Wenn n eine gerade Zahl ist ...“Vervollständige Roberts Argumentation passend.
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Betrachte für deine Aussage die beiden Fälle: n ist eine gerade Zahl und n ist eine ungerade Zahl
Wir betrachten zunächst den Zähler des Bruches.
- n ist eine gerade Zahl: In der Klammer steht also die Differenz aus einer geraden Zahl und einer ungeraden Zahl. => Die Differenz ist eine ungerade Zahl. Multipliziert man eine ungerade Zahl mit einer geraden Zahl ist das Produkt immer eine gerade Zahl.
- n ist eine ungerade Zahl: In der Klammer steht also die Differenz von zwei ungeraden Zahlen. => Die Differenz ist eine gerade Zahl. Multipliziert man eine gerade Zahl mit einer ungeraden Zahl ist das Produkt immer eine gerade Zahl.
=> In beiden Fällen ist der Zähler eine gerade Zahl.
Wir betrachten nun den gesamten Bruch.
Wie gezeigt ist der Zähler ist in unserem Fall immer eine gerade Zahl.
Ferner gilt: Jede gerade Zahl ist durch 2 teilbar.
Eine gerade Zahl dividiert durch 2 ergibt also immer eine ganze Zahl.