2.0 Das bei rechtwinklige Dreieck ist die Grundfläche der Pyramide mit der Spitze . Der Punkt ist der Fußpunkt der Pyramidenhöhe , die senkrecht auf der Grundfläche steht.
Es gilt:
Die untenstehende Zeichnung zeigt ein Schrägbild der Pyramide . In der Zeichnung gilt: liegt auf der Schrägbildachse.
Runden Sie im Folgenden auf zwei Stellen nach dem Komma.
2.1 Berechnen Sie das Maß des Winkels .
[Ergebnis: ]
2.2 Punkte liegen auf der Strecke . Die Winkel haben das Maß mit . Das Dreieck ist die Grundfläche der Pyramiden mit den Spitzen und den Höhen . Zeichnen Sie die Pyramide sowie deren Höhe für in das Schrägbild zu 2.0 ein.
2.3 Begründen Sie die obere Intervallgrenze für .
2.4 Zeigen Sie, dass für die Länge der Strecken in Abhängigkeit von gilt:
.
2.5 Berechnen Sie das Volumen der Pyramiden in Abhängigkeit von .
Lösung anzeigen
Teilaufgabe 2.1
Das Maß des Winkels CAS im rechtwinkligen Dreieck AFS mit Hilfe der Trigonometrie:
Teilaufgabe 2.2
Zeichnung der Pyramide :
Dabei ist zu wissen, dass
ist.
Wir zeichnen also einen 20°-Winkel bei C (rot). Dort, wo die Gerade (rot) die Seite [AS] schneidet, befindet sich der Punkt .
Nun verbinden wir die Eckpunkte der Pyramide miteinander (siehe nächste Abbildung).
Da der Winkel ist, steht die dreieckige Seitenfläche (hellblau) senkrecht auf der dreieckigen Seitenfläche (dunkelblau), daher muss der Fußpunkt auf der Seite [AC] liegen.
Wir zeichnen eine Senkrechte (rot) durch den Punkt auf [AC]. Der Schnittpunkt der Senkrechten mit der Seite [AC] ist der Fußpunkt .
Nun verbinden wir noch alle Eckpunkte der Pyramide miteinander (siehe nächste Abbildung).
Teilaufgabe 2.3
Die Intervallgrenze von :
Da auf der Seite [AS] liegt, kann der Winkel höchstens dem Winkel entsprechen.
Maß des Winkels im rechtwinkligen Dreieck (blau) mithilfe der Trigonometrie:
Umformung: \tan^{-1}
Alternative
Das Dreieck ist gleichschenklig und rechtwinklig, daher hat das Dreieck neben seinem -Winkel noch zwei -Winkel.
Das maximale Maß des Winkels .
Teilaufgabe 2.4
Die Länge der Strecken [] in Abhängigkeit von im Dreieck mit Hilfe des Sinussatzes:
Für den Sinussatz benötige ich noch den Winkel
Dabei ist .
Umformung: \cdot\sin\left(74,05^\circ\right)
Hinweis für obige Gleichung (vorletzte Zeile):
Wegen der Symmetrie der Sinusfunktion zu ist
Wir können folglich die und das Minus wegfallen lassen!
Teilaufgabe 2.5
Das Volumen der Pyramide in Abhängigkeit von :
Allgemein:
- Die dreieckige Grundfläche ()
im rechteckigen Dreieck über den Pythagoras:
()
- Die Höhe
im rechtwinkligen Dreieck mithilfe der Trigonometrie:
|
Zurück zur allgemeinen Formel - wir setzen die Ergebnisse ein:
Ergebnis
Rechnen wir bei der Grundfläche mit dem Wert weiter (und nicht mit ), beträgt das Volumen .