1.0 Die Funktion hat die Gleichung mit x.
1.1 Bestimmen Sie die nach y aufgelöste Gleichung der Umkehrfunktion zu .
1.2 Der Graph der Funktion wird durch Parallelverschiebung mit dem Vektor auf den Graphen der Funktion abgebildet, wobei der Punkt auf dem Graphen zu liegt. Bestimmen Sie durch Rechnung und die Gleichung der Funktion .
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Lösung zu 1.1
Gegeben ist . Vertausche mit und löse nach auf.
Umformung: -0,5
Umformung: 3^{()}
Da der Logarithmus die Umkehrfunktion der Exponentialfunktion ist, potenzieren wir die Zahl auf beiden Seiten der Gleichung.
Jetzt müssen wir noch auf beiden Seiten addieren.
Die Gleichung lautet dann:
Die Umkehrfunktion hat dann die Funktionsgleichung:
.
Lösung zu 1.2
In der zweiten Aufgabe sollen wir bestimmen, wie weit wir den Graphen von in -Richtung verschieben müssen, damit der Punkt auf ihm liegt.
Wir benutzen die Abbildungsgleichung der Parallelverschiebung:
Da auf dem Graphen von liegen soll, gilt:
Man erhält zwei Gleichungen:
Setze in die zweite Gleichung ein und löse nach auf:
Umformung: -0,5
Setze ein.
Umformung: 3^{()}
Löse nach auf.
Umformung: +v_x
Umformung: -9
Damit haben wir bestimmt.
Für die Gleichung der Funktion folgt dann:
Es ist .
Andererseits ist .
Setze ein:
Die Funktionsgleichung von lautet schließlich: