1.0 Gegeben ist die Funktion mit der Gleichung .
Der Graph der Funktion wird durch orthogonale Affinität mit der -Achse als Affinitätsachse und dem Affinitätsmaßstab sowie anschließende Parallelverschiebung mit dem Vektor auf den Graphen der Funktion abgebildet. Runden Sie im Folgenden auf zwei Stellen nach dem Komma.
1.1 Zeigen Sie rechnerisch, dass die Funktion die Gleichung
mit hat.
1.2 Zeichnen Sie die Graphen zu und für in ein Koordinatensystem. Berechnen Sie sodann die Nullstelle der Funktion .
Für die Zeichnung: Längeneinheit cm; .
1.3 Punkte ) auf dem Graphen zu haben dieselbe Abszisse wie Punkte auf dem Graphen zu . Sie sind für zusammen mit Punkten Eckpunkte von Dreiecken .
Es gilt: .
Zeichnen Sie das Dreieck für und das Dreieck für in das Koordinatensystem zu 1.2 ein.
1.4 Das Dreieck ist gleichschenklig mit der Basis . Bestimmen Sie rechnerisch die -Koordinate des Punktes .
1.5 Berechnen Sie die Koordinaten der Schwerpunkte der Dreiecke in Abhängigkeit von der Abszisse der Punkte und geben Sie die Gleichung des Trägergraphen der Punkte an.
Zeichnen Sie sodann die Schwerpunkte und der Dreiecke und in das Koordinatensystem zu 1.2 ein.
Lösung anzeigen
Lösungsvorschlag zu Teilaufgabe 1.1
Die Gleichung von wird zunächst mit Hilfe der orthogonalen Affinität zur -Achse mit dem Affinitätsfaktor abgebildet:
Im zweiten Schritt wird die Funktion parallel um den Vektor verschoben:
Daraus ergibt sich nun .
Lösungsvorschlag zu Teilaufgabe 1.2
Hinweis: die Zeichnung der Graphen der Funktionen ist nur im Bereich nötig.
Berechnung der Nullstellen der Funktion :
Lösungsvorschlag zu Teilaufgabe 1.3
Lösungsvorschlag zu Teilaufgabe 1.4
Das Dreieck soll gleichschenklig sein. Daher müssen einerseits die beiden Schenkel und des Dreiecks gleich lang sein. Dies bringt uns hier allerdings nicht weiter. Andererseits benötigen wir ja nur die -Koordinate das Punktes .
Da wegen immer unter liegt, muss für den Abstand und im gleichschenkligen Dreieck
gelten.
Die Länge der Strecke berechnet sich durch Subtraktion der Funktionsgleichungen :
Nun soll die Länge sein:
Damit gilt für .
Lösungsvorschlag zu Teilaufgabe 1.5
Zur Berechnung des Schwerpunkts im Dreieck mithilfe der Koordinaten seiner Eckpunkte gibt es eine Formel:
Die Koordinaten der Punkte und in Abhängigkeit von sind dir aus B 1.3 schon bekannt.
Die Koordinaten der Punkte erhältst du durch die Berechnung:
und damit
Daraufhin setzt du die Punktkoordinaten in die Schwerpunktformel ein:
Den Trägergraphen des Schwerpunkts erhältst du folgendermaßen:
Damit gilt für den Trägergraphen von :