2.0 Die Skizze zeigt ein Schrägbild der Pyramide ABCDS, deren Grundfläche das Quadrat ABCD ist. Die Spitze S der Pyramide liegt senkrecht über dem Mittelpunkt der Strecke [AD].
N ist der Mittelpunkt der Strecke [BC].
Es gilt:
Runden Sie im Folgenden auf zwei Stellen nach dem Komma.
2.1 Zeichnen Sie das Schrägbild der Pyramide ABCDS, wobei die Strecke [MN] auf der Schrägbildachse und der Punkt M links vom Punkt N liegen soll.
Für die Zeichnung gilt:
Berechnen Sie sodann die Höhe [MS] der Pyramide ABCDS und die Länge der Strecke [SN].
[Ergebnisse: ]
2.2 Punkte auf der Strecke [SN] mit und x und x ] 0;13,95 [ sind die Spitzen von Pyramiden . Punkte sind die Fußpunkte der Pyramidenhöhen [].
Zeichnen Sie für x=5 die Pyramide zusammen mit ihrer Höhe [] in das Schrägbild zu 2.1 ein. Berechnen Sie sodann das Maß des Winkels
[Teilergebnis: ]
2.3 Zeigen Sie, dass für das Volumen V der Pyramiden in Abhängigkeit von x gilt:
V(x)=(-8,75x+121,92)cm³
2.4 Ermitteln Sie rechnerisch, für welche Werte von x das zugehörige Volumen der Pyramiden mehr als 34 % des Volumens der Pyramide ABCDS beträgt.
2.5 Unter den Punkten hat der Punkt die kürzeste Entfernung zu M. Zeichnen Sie die Pyramide in das Schrägbild zu 2.1 ein. Berechnen Sie sodann die Länge der Strecke [] sowie den zugehörigen Wert für x.
Lösung anzeigen
Teilaufgabe B 2.1
Schrägbild der Pyramide ABCDS:
- [AN] = 8 cm (Schrägbildachse)
- [AD] = [BC] = 4 cm, da wir den Verkürzungsfaktor haben. Beide liegen in 45° zu [MN].
(oder: [AM] = [MD] = [BN] =
[NC] = 2 cm)
- , da die Spitze senkrecht über M liegt.
- Die beiden Geraden (bzw. Halbgeraden) schneiden sich in Punkt S.
- Verbinde nun alle Eckpunkte der Pyramide.
Die Höhe der Pyramide und die Länge [SN]:
Im rechtwinkligen Dreieck MNS können wir [MS] mit Hilfe der Trigonometrie berechnen:
Umformung: \cdot8\ cm
Bemerkung: Wir können alternativ mit dem Satz des Pythagoras im rechtwinkligen Dreieck berechnen.
Teilaufgabe B 2.2
Pyramide mit :
Da x = 5 cm ist, ist [] = 5 cm.
- Einzeichnen von
- liegt auf [MN], da die Grundfläche BCM, als auch die die Seitenfläche gleichschenklige Dreiecke ist und [MN] und [] Symmetrieachsen.
- Fälle ein Lot von auf [MN], der Schnittpunkt ist der Fußpunkt der Höhe der Pyramide.
Das Maß des Winkels im Dreieck mit Hilfe der Trigonometrie:
im Dreieck mit dem Kosinussatz:
In der Musterlösung wird mit einem gerundeten Ergebnis gerechnet, daher kommt hier 7,88 cm raus, genauer wäre allerdings 7,87 cm.
Wir rechnen dennoch mit 7,88 cm weiter.
Teilaufgabe B 2.3
Volumen der Pyramiden in Abhängigkeit von x:
Höhe der Pyramide im rechtwinkligen Dreieck FNP mit der Trigonometrie:
Umformung: \cdot\left(13,95cm-x\right)
Teilaufgabe B 2.4
Der Wert x, bei dem das mehr als 34 % des beträgt:
Das Volumen der Pyramide ABCDS (mit h = [MS]):
Wenn das Volumen von mehr als 34 % betragen soll, ist
.
Umformung: :\ cm^3
Umformung: -121,92
Umformung: :\left(-8,75\right)
Teilung durch eine negative Zahl --> "das Zeichen dreht sich um"
{ x | x < 4,46}
Teilaufgabe B 2.5
Zeichnung der Pyramide :
- [] ist die kürzeste Entfernung, folglich steht sie senkrecht auf [SN].
- Der Schnittpunkt der Lotgeraden auf [SN] ist die Spitze .
- Von wird ebenfalls ein Lot auf [MN] gezeichnet: (siehe nächstes Bild) ist der Fußpunkt der Pyramide.
- Verbindung aller Eckpunkte (siehe nächstes Bild).
Die Länge der Strecke im rechtwinkligen Dreieck mit der Trigonometrie:
Umformung: \cdot8\ cm
Die Länge der Strecke mit dem zugehörigen Wert x im rechtwinkligen Dreieck mit der Trigonometrie:
Umformung: \cdot8\ cm
Umformung: -13,95\ cm
Umformung: \cdot\left(-1\right)
Bemerkung: alternativ kann man hier den Satz des Pythagoras im rechtwinkligen Dreieck verwenden.