3.0 Vitamin D kann im menschlichen Körper produziert werden, wenn Sonnenstrahlung unter bestimmten Bedingungen auf die Haut trifft. Im Winterhalbjahr nimmt daher die Konzentration von Vitamin D im Körper normalerweise ab.
Bei Andreas wurde Ende September eine Anfangskonzentration von Nanogramm Vitamin D pro Milliliter Blut gemessen. Der Zusammenhang zwischen der Anzahl der Wochen und der verbleibenden Konzentration an Vitamin D lässt sich bei Andreas näherungsweise durch die Funktion mit der Gleichung
beschreiben.
3.1 Um wie viel Prozent reduziert sich folglich bei Andreas die Konzentration an Vitamin D in einer Woche?
3.2 Berechnen Sie mithilfe der Funktion die Konzentration an Vitamin D bei Andreas nach 21 Tagen.
Runden Sie auf 2 Nachkommastellen.
3.3 Berechnen Sie, in welcher Woche sich die Anfangskonzentration an Vitamin D bei Andreas entsprechend der Funktion halbiert.
3.4 Bei Stephan wurde gleichzeitig mit Andreas eine Messung begonnen. Bei Stephan lässt sich der Zusammenhang zwischen der Anzahl der Wochen und der verbleibenden Konzentration an Vitamin D durch die Funktion mit der Gleichung beschreiben.
Ist es unter diesen Voraussetzungen möglich, dass die Konzentrationen an Vitamin D zu einem Zeitpunkt bei Stephan und Andreas den gleichen Wert erreichen? Begründen Sie Ihre Entscheidung ohne Rechnung.
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Lösung 3.1
Die Vitamin-D-Konzentration beträgt zu Beginn der Messung .
Nach einer Woche beträgt sie .
Antwort: Die Konzentration hat um abgenommen.
Lösung 3.2
Antwort: Nach Tagen, also Wochen beträgt die Konzentration bei Andreas:
Lösung 3.3
Da es keine "halben" Wochen gibt, muss man hier aufrunden.
Achtung: hier gelten die Rundungsregeln nicht, es muss nach dem jeweiligen Kontext entschieden werden!
Antwort: In der 10. Woche hat sich die Vitamin-D-Konzentration halbiert.
Lösung 3.4
Die Vitamin-D-Konzentrationen bei Stephan und Andreas können zu keinem Zeitpunkt gleich sein. Denn die beiden Exponentialfunktionen sind streng monoton fallend.
Für ist die Konzentration bei Andreas und bei Stephan . Da also die Startkonzentration bei Stephan niedriger ist als bei Andreas, und die Konzentration bei Stephan schneller fällt als bei Andreas, können beide Vitamin-D-Konzentrationen nie gleich sein.