Alina möchte untersuchen, ob der Regenbogen auf ihrem Foto parabelförmig ist. Dazu hat sie in das Foto ein Koordinatensystem eingezeichnet, dessen x-Achse im Ursprung den höchsten Punkt des Regenbogens berührt.
Sie möchte die Gleichung einer Parabel aufstellen, deren Scheitel im Ursprung liegt und die durch einen weiteren Punkt P verläuft, der auf dem Regenbogen liegt. Dazu verwendet sie einen der folgenden Ansätze, wobei r > 0 gilt.
(1)
(2)
(3)
Begründen Sie, dass weder Ansatz (1) noch Ansatz (2) geeignet ist
Lösung anzeigen
Hier musst du wissen, was die einzelnen Parameter einer quadratischen Funktion in Scheitelpunktform bedeuten.
Eine quadratische Funktion in Scheitelpunktform, lässt sich durch passende Wahl der Parameter , und immer so schreiben:
In Ansatz (1) ist . Daher beschreibt sie eine nach unten geöffnete Parabel. Der Regenbogen sieht auch wie eine nach unten geöffnete Parabel aus, also wäre das schon mal richtig.
In Ansatz (1) kommt aber noch der Parameter vor. Das bedeutet die Parabel ist nach links oder rechts vom Ursprung verschoben. (Da größer als Null ist, ist sie nach rechts verschoben.) Der Regenbogen soll jedoch wie im Bild in der Aufgabenstellung durch den Ursprung gehen und daher nicht verschoben sein. Ansatz (1) ist also falsch.
In Ansatz (2) ist wieder . Das würde schonmal passen. Aber verschiebt unsere Parabel um nach oben. Da aber der Graph des Regenbogens durch den Ursprung gehen soll, kann dieser Ansatz nicht stimmen.
Wählen Sie in der Abbildung einen geeigneten Punkt P aus und bestimmen Sie damit den Wert von in Ansatz (3).
Lösung anzeigen
Versuche hier einen Punkt im Bild zu finden, der relativ leicht abzulesen ist. Oft hilft es, ein Lineal zum Finden geeigneter Punkte zu verwenden. Setze dann den Punkt in den Funktionsterm von Ansatz (3) ein, um zu bestimmen.
Der Punkt liegt auf dem Regenbogen-Graphen und lässt sich leicht ablesen.
Einsetzen des Punkts in liefert:
Das kannst du nun umformen:
ist also .
Beschreiben Sie, wie Alina untersuchen kann, ob die Form des Regenbogens durch die in Aufgabe b ermittelte Gleichung beschrieben werden kann.
Lösung anzeigen
Alina kann einen oder mehrere weiteren Punkt auf der Parabel berechnen. Wenn diese auch auf dem Regenbogengraphen liegen, lässt das die Vermutung zu, dass der Regenbogengraph eine Parabelform hat.
Setze zum Beispiel für die Werte , und ein
2 | 3 | 4 | |
|---|---|---|---|
Alle Punkte liegen auf dem Graphen zum Regenbogen. Daher hat der Regenbogen im Bildausschnitt eine Parabelform.