Betrachte folgende Graphen.
Bestimme die Funktionsgleichungen von allen 4 Geraden.
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Um die Geradengleichung von f zu bestimmen, liest du zuerst zwei Punkte aus dem Diagramm ab, die auf der Geraden f liegen. In diesem Fall ergibt sich zum Beispiel und . Bestimme mit diesen die Steigung von f mit der Formel.
Setz die Werte ein.
Bestimme jetzt den y-Achsenabschnitt , indem du einen Punkt in die allgemeine Geradengleichung einsetzt, der auf f liegt, oder abliest, bei welchem Wert f die y-Achse schneidet.
Setz zum Beispiel ein.
Vereinfache.
Also lautet die Geradengleichung .
Um die Geradengleichung von g zu bestimmen, liest du zuerst zwei Punkte aus dem Diagramm ab, die auf der Geraden g liegen. In diesem Fall ergibt sich zum Beispiel und . Bestimme mit diesen die Steigung von g mit der Formel.
Setz die Werte ein.
Bestimme jetzt den y-Achsenabschnitt , indem du einen Punkt in die allgemeine Geradengleichung einsetzt, der auf g liegt, oder abliest, bei welchem Wert g die y-Achse schneidet.
Setz zum Beispiel ein.
Vereinfache.
Also lautet die Geradengleichung .
Um die Geradengleichung von h zu bestimmen, liest du zuerst zwei Punkte aus dem Diagramm ab, die auf der Geraden h liegen. In diesem Fall ergibt sich zum Beispiel und . Bestimme mit diesen die Steigung von h mit der Formel.
Setz die Werte ein.
Bestimme jetzt den y-Achsenabschnitt , indem du einen Punkt in die allgemeine Geradengleichung einsetzt, der auf h liegt, oder abliest, bei welchem Wert h die y-Achse schneidet.
Setz zum Beispiel ein.
Vereinfache.
Also lautet die Geradengleichung .
Um die Geradengleichung von i zu bestimmen, liest du zuerst zwei Punkte aus dem Diagramm ab, die auf der Geraden i liegen. In diesem Fall ergibt sich zum Beispiel und . Bestimme mit diesen die Steigung von i mit der Formel.
Setz die Werte ein.
Bestimme jetzt den y-Achsenabschnitt , indem du einen Punkt in die allgemeine Geradengleichung einsetzt, der auf i liegt, oder abliest, bei welchem Wert i die y-Achse schneidet.
Setz zum Beispiel ein.
Vereinfache.
Also lautet die Geradengleichung .
Bestimme den Schnittpunkt von g und h , sowie die Nullstelle von f.
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Schnittpunkt von g und h
Um den Schnittpunkt von zwei Funktionen zu bestimmen, setzt du diese gleich und formst nach um. Die Funktionsgleichungen lauten (Teilaufgabe a) und .
Umformung: -3x_p-1
Subtrahiere und 1.
Umformung: \div\left(-\frac{11}4\right)
Dividiere durch .
Setz nun in die Geradengleichung von g oder h ein, um zu bestimmen.
Setz ein.
Die Geraden g und h schneiden sich also bei .
Die Nullstelle von f bestimmst du, indem du die Funktionsgleichung mit 0 gleichsetzt und nach umformst.
Umformung: -3
Umformung: :\frac{1}{4}
Die Nullstelle von f ist also 12.
Berechne die beiden Schnittpunkte, die außerhalbdes Bildbereichs liegen.
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Der Schnittpunkt von h und i und der Schnittpunkt von g und i liegen außerhalb des Bildbereichs.
Schnittpunkt von h und i
Um den Schnittpunkt von zwei Funktionen zu bestimmen, setzt du diese gleich und formst nach um. Die Funktionsgleichungen lauten (Teilaufgabe a) und .
Umformung: -\frac{1}{2}x-3
Umformung: :\frac{5}{2}
Setz nun in die Geradengleichung von h oder i ein, um zu bestimmen.
Setz ein.
Die Geraden h und i schneiden sich also bei .
Schnittpunkt von g und i
Um den Schnittpunkt von zwei Funktionen zu bestimmen, setzt du diese gleich und formst nach um. Die Funktionsgleichungen lauten (Teilaufgabe a) und .
Umformung: -\frac{1}{2}x-1
Umformung: :\left(-\frac{1}{4}\right)
Setz nun in die Geradengleichung von g oder i ein, um zu bestimmen.
Setz ein.
Die Geraden g und i schneiden sich also bei .
Wie viele Schnittpunkte gibt es höchstens bei vier Geraden, die jeweils nicht parallel sind?
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Es gibt insgesamt 6 Schnittpunkte, nämlich die folgenden:
- f und g
- f und h
- f und i
- g und h
- g und i
- h und i
Kombinatorische Lösung
Bei vier Geraden schneidet die erste 3, die zweite noch 2 und die dritte noch 1: