a)
(2 BE)
Die Ebene enthält einen Punkt, dessen drei Koordinaten übereinstimmen. Bestimmen Sie diese Koordinaten.
b)
(3 BE)
Begründen Sie, dass die folgende Aussage richtig ist:
Es gibt unendlich viele Ebenen, die keinen Punkt enthalten, dessen drei Koordinaten übereinstimmen.
Lösung anzeigen
Die Aufgabe verlangt Verständnis für den Umgang mit der Normalenform von Ebenengleichungen und Kenntnisse über Lagebeziehungen von Geraden und Ebenen im .
Lösung Teilaufgabe a)
(2 BE)
Setze den Punkt in die Ebenengleichung ein und löse die Gleichung nach auf.
Ergebnis:
Der Punkt liegt auf der Ebene .
Lösung der Teilaufgabe b)
(3 BE)
So begründest du - ohne besonderen rechnerischen Nachweis - die Behauptung:
Alle Punkte des Raums mit drei gleichen Koordinaten liegen auf der derselben Geraden
.
Jede der unendlich vielen Ebenen, zu denen (echt) parallel ist, erfüllt die Behauptung, enthält also keinen Punkt, dessen drei Koordinaten übereinstimmen.
Alternative Begründung
Keine der unendlich vielen Ebenen
mit und
enthält einen Punkt mit drei gleichen Koordinaten.
Denn kein Punkt erfüllt die Ebenengleichung:
Es soll aber sein!
Anmerkung
Die beiden dargestellten Möglichkeiten zur Begründung der Behauptung der Aufgabe hängen zusammen:
Die Gerade
ist genau dann zu einer Ebene
echt parallel, wenn und der Richtungsvektor der Geraden senkrecht zum Normalenvektor der Ebene ist.
Wenn also gilt: