a)
(2 BE)
Die Ebene : enthält einen Punkt, dessen drei Koordinaten übereinstimmen. Bestimmen Sie diese Koordinaten.
b)
(3 BE)
Begründen Sie, dass die folgende Aussage richtig ist:
Es gibt unendlich viele Ebenen, die keinen Punkt enthalten, dessen drei Koordinaten übereinstimmen.
Lösung anzeigen
Die Aufgabe verlangt Verständnis für den Umgang mit der Normalenform von Ebenengleichungen und Kenntnisse über Lagebeziehungen von Geraden und Ebenen im .
Lösung Teilaufgabe a)
(2 BE)
Setze den Punkt in die Ebenengleichung von ein und löse die Gleichung nach auf.
Zusammenfassen
Umformung: :7
Der Punkt liegt auf der Ebene .
Lösung Teilaufgabe b)
(3 BE)
So begründest du - ohne besonderen rechnerischen Nachweis - die Behauptung:
Alle Punkte des Raums mit drei gleichen Koordinaten liegen auf derselben Geraden
Jede der unendlich vielen Ebenen, zu denen (echt) parallel ist, erfüllt die Behauptung, enthält also keinen Punkt, dessen drei Koordinaten übereinstimmen.
Alternative Begründung
Keine der unendlich vielen Ebenen mit und enthält einen Punkt mit drei gleichen Koordinaten.
Denn kein Punkt erfüllt die Ebenengleichung:
Es soll aber sein!
Anmerkung
Die beiden dargestellten Möglichkeiten zur Begründung der Behauptung der Aufgabe hängen zusammen:
Die Gerade ist genau dann zu einer Ebene echt parallel, wenn und der Richtungsvektor der Geraden senkrecht zum Normalenvektor der Ebene ist. Wenn also gilt:
.