Berechne die Varianz und die Standardabweichung der gegebenen Zufallsvariable.
Ein 6-seitiger Laplace-Würfel wird geworfen. Die Zufallsvariable gibt die Augenzahl eines Wurfes wieder.
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Varianz
Hier ist , und .
Zunächst muss der Erwartungswert berechnet werden:
Nun benutzt man die Formel für die Varianz:
Setze die gegebenen Werte ein.
Vereinfache.
Die mittlere quadratische Abweichung der Augenzahl beim Werfen eines Würfels ist also etwa 2,92.
Standardabweichung
Die Standardabweichung erhält man durch Wurzelziehen:
Die Standardabweichung der Augenzahl beim Werfen eines Würfels ist also etwa 1,71.
Bei einer Wette wird eine Münze geworfen. Bei Zahl gewinnst du 5 Euro und bei Kopf verlierst du 6 Euro. Die Zufallsvariable gibt den Gewinn bei einem Münzwurf an. Der Erwartungswert ist .
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Varianz
Hier ist , und jeweils .
Benutz die Formel für die Varianz.
Setze die Werte ein.
Vereinfache.
Die mittlere quadratische Abweichung des Gewinns bei diesem Glücksspiel ist also 30,25.
Standardabweichung
Die Standardabweichung erhält man durch Wurzelziehen:
Die Standardabweichung beträgt also 5,5.
Ein Würfel wird 20-mal geworfen. Die Zufallsvariable gibt an, wie oft die Zahl 3 gefallen ist. Der Erwartungswert ist .
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Varianz
Es handelt sich hierbei um eine Bernoulli-Kette. Die Varianz einer Bernoulli-Kette beträgt . Hier ist und die Wahrscheinlichkeit, bei einem einzelnen Wurf eine Drei zu werfen, also .
Setze die Werte ein.
Vereinfache
Die mittlere quadratische Abweichung der Häufigkeit, eine Drei bei 20 Würfen zu würfeln, ist also etwa 2,78.
Standardabweichung
Die Standardabweichung erhält man durch Wurzelziehen:
Die Standardabweichung beträgt also .
In einer Urne befinden sich 12 Kugeln, darunter 4 schwarze und 8 weiße. Daraus werden 6 Kugeln ohne Zurücklegen und ohne Beachtung der Reihenfolge gezogen. Die Zufallsvariable gibt an, wie viele weiße Kugeln gezogen wurden. Der Erwartungswert ist .
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Varianz
Die Wahrscheinlichkeit 2, 3, 4, 5 oder 6 weiße Kugeln zu ziehen, berechnest du mit dem Urnenmodell. Da sich nur 4 schwarze Kugeln in der Urne befinden, ist es nicht möglich, keine oder nur eine weiße Kugel zu ziehen.
Berechnung der Wahrscheinlichkeiten
Du ziehst ohne Zurücklegen und ohne Beachtung der Reihenfolge. Damit lassen sich die Wahrscheinlichkeiten der Werte der Zufallsgröße kombinatorisch berechnen.
- .
- .
- .
- .
- .
Berechne nun die Varianz mit der Formel:
Setz die Werte ein.
Vereinfache
Die mittlere quadratische Abweichung der Anzahl gezogener weißer Kugeln ist also etwa 0,73.
Standardabweichung
Die Standardabweichung erhält man durch Wurzelziehen:
Die Standardabweichung beträgt etwa 0,85.