Betrachtet wird die Schar der in definierten Funktionen
und den zugehörigen Graphen . Für jedes besitzt der Graph genau einen Wendepunkt .
a)
(2 BE)
Geben Sie das Verhalten von an den Grenzen des Definitionsbereichs in Abhängigkeit von an.
b)
(3 BE)
Bestimmen Sie die x-Koordinate von in Abhängigkeit von .
(zur Kontrolle:
c)
(4 BE)
Bestimmen Sie den Wert von so, dass der zugehörige Wendepunkt auf der y-Achse liegt. Zeigen Sie, dass in diesem Fall der Punkt im Koordinatenursprung liegt und die Wendetangente, d.h. die Tangente an im Punkt , die Steigung hat.
d)
(2 BE)
Für den in Aufgabe 3c bestimmten Wert von zeigt Abbildung 3 den zugehörigen Graphen mit seiner Wendetangente. In diesem Koordinatensystem sind die beiden Achsen unterschiedlich skaliert.
Bestimmen Sie die fehlenden Zahlenwerte an den Markierungsstrichen der y-Achse mithilfe eines geeigneten Steigungsdreiecks an der Wendetangente und tragen Sie die Zahlenwerte in Abbildung 3 ein.
Lösung anzeigen
In der Teilaufgabe ist eine Funktionenschar ganzrationaler Funktionen 3. Grades zu untersuchen.
Für jedes besitzt der Graph genau einen Wendepunkt .
Betrachtet wird die Schar der in definierten Funktionen
und dem zugehörigen Graphen .
Für jedes besitzt der Graph genau einen Wendepunkt .
Hinweis zur Aufgabenstellung
Da für die Schar gilt , ist jede Funktion der Schar vom Grad .
Wenn du mit ganzrationalen Funktionen gut vertraut bist, dann weißt du vielleicht, auch ohne den Hinweis in der Aufgabenstellung, dass jede ganzrationale Funktion 3. Grades mit genau einen Wendepunkt besitzt und überdies zu diesem Wendpunkt punktsymmetrisch ist.
Solche tiefergreifenden Kenntnisse brauchst du aber nicht zu haben, um mit der Aufgabe gut zurecht zu kommen.
Lösung Teilaufgabe a)
Da für jede Funktion der Definitionsbereich ist, bedeutet die Untersuchung des Verhaltens "an den Grenzen" des Definitionsbereichs die Bestimmung folgender Grenzwerte:
Da der Scharparameter sowohl negativ als auch positiv sein kann, ist zu erwarten, dass die Ergebnisse der Grenzwertbestimmungen vom zuständigen abhängen können.
So bestimmst du die Grenzwerte:
Ergebnis
Für die ungeraden ganzrationalen Funktion 3. Grades gehen an den Grenzen des Definitionsbereichs, also für und für , die Funktionswerte entgegengesetzt gegen Unendlich. Der "Leitkoeffizient" bestimmt dies mit seinem Vorzeichen genauer.
Lösung Teilaufgabe b)
Die Wendepunkte ganzrationaler Funktionen 3. Grades sind zu bestimmen.
Notwendige Bedingung für das Vorliegen eines Wendepunktes ist, dass die 2. Ableitung an der Stelle Null wird.
So berechnest du die 1. und 2. Ableitung von :
Setze gleich Null und löse die Gleichung nach auf:
Dass sich für diesen von abhängigen x-Wert tatsächlich ein Wendepunkt ergibt, bestätigt die 3. Ableitung , da sie von Null verschieden ist:
, wegen .
c)
(4 BE)
Der Wendepunkt liegt auf der y-Achse, wenn sein x-Wert Null ist.
Setze den x-Wert des Wendpunkts gleich Null und löse die Gleichung nach auf:
Die Funktionsgleichung für lautet
.
liefert die y-Koordinate des Wendepunkts :
.
Also liegt der Wendepunkt im Koordinatenursprung.
Für die Steigung von im Punkt erhältst du:
Die Wendetangente der Funktionenschar hat also für die Funktion mit die Steigung .
Lösung Teilaufgabe d)
Als Steigungsdreieck der eingezeichneten Tangente nimmst du das Dreieck mit Koordinatenursprung, dem Punkt und dem Tangentenpunkt für .
Der y-Wert dieses Tangentenpunktes hat den Wert .
Damit kannst du die y-Achse wie gewünscht skalieren.
