Abbildung 1 zeigt ein Hinderniselement in einem Skate-Park.
Die Auffahrt des symmetrischen Hinderniselements geht in ein horizontal verlaufendes Plateau über, an das sich die Abfahrt anschließt. Die vordere und die hintere Seitenfläche verlaufen senkrecht zum horizontalen Untergrund. Um die vordere Seitenfläche mathematisch beschreiben zu können, wird ein kartesisches Koordinatensystem so gewählt, dass die x-Achse die Fläche darstellt. Das Plateau erstreckt sich im Modell im Bereich . Die Profillinie der Abfahrt wird für durch den Graphen der in Aufgabe 1 untersuchten Funktion beschrieben (vgl. Abbildung 2). Dabei entspricht eine Längeneinheit im Koordinatensystem einem Meter in der Realität.
a)
(2 BE)
Erläutern Sie die Bedeutung des Funktionswerts im Sachzusammenhang und geben Sie den Term der Funktion an, deren Graph für die Profillinie der Auffahrt im Modell beschreibt.
b)
(5 BE)
Berechnen Sie die Stelle im Intervall , an der die lokale Änderungsrate von gleich der mittleren Änderungsrate in diesem Intervall ist.
c)
(3 BE)
Der in Aufgabe 2b rechnerisch ermittelte Wert könnte alternativ auch ohne Rechnung näherungsweise mithilfe von Abbildung 2 bestimmt werden. Erläutern Sie, wie Sie dabei vorgehen würden.
d)
(2 BE)
Berechnen Sie auf der Grundlage des Modells die Größe des Winkels , den das Plateau und die Fahrbahn an der Kante zur Abfahrt einschließen (vgl. Abbildung 2).
e)
(3 BE)
Die vordere Seitenfläche des Hinderniselements wird in Teilbereichen der Auf- und Abfahrt als Werbefläche verwendet (vgl. Abbildung 1). Im Modell handelt es sich um zwei Flächenstücke, nämlich um die Fläche zwischen und der x-Achse im Bereich sowie die dazu symmetrische Fläche im II. Quadranten. Berechnen Sie unter Verwendung der in Aufgabe 1d angegebenen Stammfunktion , wie viele Quadratmeter als Werbefläche zur Verfügung stehen.
Lösung anzeigen
In der Aufgabe wird eine Skat-Park-Anlage durch Funktionsgraphen modelliert.
Lösung Teilaufgabe a)
Da die vordere Seitenfläche des Hinderniselements symmetrisch zur y-Achse sein soll, erhält man die Funktionsgleichung der Auffahrtslinie durch Spiegelung der (bereits in Aufgabe 1 betrachteten) Funktion mit an der y-Achse.
Für die gespiegelte Funktion gilt:
gibt die Höhe der Plateaulinie an. Und wegen ist gesichert, dass das Plateau horizontal verläuft und die Übergänge von Auffahrt zu Plateau und von Plateau zu Abfahrt ohne Sprünge erfolgen.
Der Term von ergibt sich durch Spiegelung von an der y-Achse, man muss also durch ersetzen. Man erhält die Funktion .
Lösung Teilaufgabe b)
In dieser Teilaufgabe ist eine lokale Änderungsrate von der mittleren Änderungsrate zu unterscheiden.
Die lokale Änderungsrate von an der Stelle ist der Ableitungswert für .
Bilde die Ableitung von :
.
Die mittlere Änderungsrate von im Intervall ist die Steigung der Strecke zwischen den Punkten und .
Es gilt:
.
Bedingung für ist die Gleichung:
Für rund ist die lokale Änderungsrate von gleich der mittleren Änderungsrate des Intervalls .
Lösung Teilaufgabe c)
Du zeichnest als Lösung zur Strecke [AB] mit ) und ) eine parallele Gerade, die berührt. D.h. du legst näherungsweise die Tangente an den Graphen von , die parallel zur Sekante ist.
Du entnimmst dem x-Wert des Berührpunktes der Tangente mit dem Graphen von , dass er etwas größer ist als 4.
Lösung Teilaufgabe d)
Der Winkel ergibt sich über den Neigungswinkel der Tangente im Punkt an den Graphen .
Für den Neigungswinkel von gilt:
Hilfestellung zu negativen Steigungen
Der Neigungswinkel einer Tangente mit einer negativen Steigung ergibt sich aus dem Taschenrechner als negativer Winkel. Das ist der Winkel, den die Achse mit der Tangente im Uhrzeigersinn einschließt.
Da die Plateaulinie zur x-Achse parallel ist gilt:
Der Winkel, den das Plateau und die Fahrbahn an der Kante zur Abfahrt einschließen, beträgt .
Lösung Teilaufgabe e)
Die Flächen in den Intervallen und sind kongruent, deshalb ergibt sich als Gesamtwerbefläche :
Für die Werbefläche des Skate-Parks stehen rund zur Verfügung.