Gegeben ist die in {0} definierte Funktion ,
welche die Nullstellen und hat.
Abbildung1 zeigt den Graphen von , der symmetrisch bezüglich der y-Achse ist.
Weiterhin ist die Gerade mit der Gleichung gegeben.
a)
Zeigen Sie, dass einer der Punkte, in denen den Graphen von schneidet, die x-Koordinate hat.
b)
Bestimmen Sie rechnerisch den Inhalt der Fläche, die der Graph von , die x-Achse und die Gerade einschließen.
Lösung anzeigen
Im Zusammenhang mit einer gegebenen gebrochenrationalen Funktion ist ein Flächenstück zu berechnen.
Hinweis zur Aufgabenstellung
Von dem in der Abbildung 1 vorgegebenen Graphen der Funktion ist als Eigenschaft angegeben, dass er zur y-Achse symmetrisch ist.
Dies kannst du aber auch selbst erkennen, da gilt:
für alle .
Dieser "Hilfestellung" kannst du entnehmen, dass die angesprochene Symmetrieeigenschaft im Verlauf der Lösung eine Rolle spielt.
Lösung Teilaufgabe a)
In dieser Teilaufgabe sind die beiden Funktionen
und
zu schneiden.
Setze die beiden Funktionsterme gleich und löse die Gleichung.
Einer der beiden Schnittpunkte der Graphen von und ist der Punkt .
Lösung Teilaufgabe b)
Die Teilaufgabe verlangt eine Flächenberechnung.
Schraffiere zunächst die zu berechnende Fläche in einer Skizze.
Achtung:
Gemeint ist eine Fläche, deren Rand allein aus Teilen des Graphen von , aus Teilen der x-Achse und Teilen des Graphen von besteht.
Die richtige Fläche
Eine falsche Fläche
Die Fläche ist deshalb nicht die gemeinte Fläche, da ihr Rand einen Teil der y-Achse enthält.
Dennoch ist hilfreich zur Berechnung der Fläche , da - wegen der Symmetrie des Graphen von zur y-Achse - gilt:
So berechnest du die Fläche :
Damit gilt für die gesuchte Fläche der Teilaufgabe: