Eine romanische Fensterform ist zusammengesetzt aus einem Rechteck und einem oben anschließenden Halbkreis.
Das nebenstehende romanische Fenster habe den Umfang und die Rechtecksseiten und .
Bei welchen Werten für und hat das Fenster den größtmöglichen Flächeninhalt?
Lösung anzeigen
Für die Form eines romanischen Fensters (Rechteck mit oben angefügtem Halbkreis) soll bei gegebenem Umfang die größtmögliche Fläche berechnet werden.
Die Zielfunktion, deren Maximum zu berechnen ist, ergibt sich als Summe der Rechtecksfläche mit den Seitenlängen und und der Fäche des Halbkreises mit Radius .
Zielfunktion:
Der gegebene Umfang ist für die Zielfunktion die "Nebenbedingung".
Nebenbedingung
Berechne als Kreisbogenlänge des Halbkreises.
Setze in die Nebenbedingung ein und löse diese nach (oder auch nach ) auf.
Setze gleich Null und löse nach auf.
Da für jedes negativ ist, ergibt sich ein Maximum.
Setze und in ein, um die maximale Fläche des romanischen Fensters mit dem Umfang zu erhalten.
(Du kannst auch alleine in einsetzen.)
Ergebnis:
Das romanische Fenster mit dem Umfang hat seine größte Fläche von rund , wenn die Grundseite gerade doppelt so groß ist wie die Höhe des Rechtecks.
Anhand des beigefügten Applets kannst du durch Verschieben des unteren rechten Eckpunkts das Ergebnis überprüfen.
Tipp: Wenn die Ansicht abgeschnitten wirkt, direkt in GeoGebra öffnen.