Die beiden abgebildeten Graphen schneiden sich in drei Punkten, die jeweils ganzzahlige Koordinaten besitzen.
Zum "roten Graphen" gehört eine Funktion dritten Grades mit dem Hochpunkt und dem Tiefpunkt .
Bestimme die jeweiligen Funktionsterme und die Schnittpunkte der Graphen.
Wie kannst du den gesamten Inhalt A der von den beiden Graphen eingeschlossenen Fläche mit bestimmten Integralen angeben?
Berechne nun A.
Lösung anzeigen
Funktionsterme bestimmen
Zum "roten Graphen" gehört eine Funktion dritten Grades mit dem Hochpunkt (hier ist ) und dem Tiefpunkt (hier ist ). Trage diese Informationen in eine Tabelle ein.
x | f(x) | f'(x) | |
|---|---|---|---|
(I) | 0 | 1 | |
(II) | 0 | 0 | |
(III) | 2 | -3 | |
(IV) | 2 | 0 |
Die allgemeine Funktion Grades lautet:
und die erste Ableitung ist dann:
Nach der Tabelle ergibt die Gleichung :
Gleichung ergibt:
Gleichung ergibt unter Berücksichtigung der bisherigen Ergebnisse:
Gleichung ergibt unter Berücksichtigung der bisherigen Ergebnisse:
Das Ergebnis aus Gleichung in eingesetzt ergibt:
Mit folgt in
Antwort: Die Funktion Grades lautet:
Zum "blauen Graphen" gehört eine lineare Funktion . Aus der Abbildung kannst du die Steigung und den -Achsenabschnitt ablesen:
Antwort: Die Gleichung der linearen Funktion lautet:
Bestimmung der Schnittpunkte der beiden Graphen
"Die beiden abgebildeten Graphen schneiden sich in drei Punkten, die jeweils ganzzahlige Koordinaten besitzen". Deshalb können die Schnittpunkte aus der Abbildung abgelesen werden.
Antwort: Die Schnittpunkte haben folgende Koordinaten:
Wie kannst du den gesamten Inhalt der von den beiden Graphen eingeschlossenen Fläche mit bestimmten Integralen angeben?
Flächeninhalt:
Berechnung von :
Antwort: Der von den beiden Graphen eingeschlossene Flächeninhalt beträgt .