Die Parabel mit dem Scheitel und der Graph der Funktion f mit schließen eine Fläche mit dem Inhalt A ein.
Bestimme den zur Parabel gehörenden Funktionsterm und alle Schnittpunkte.
Wie kannst du A als bestimmtes Integral schreiben? Berechne nun A.
Lösung anzeigen
Berechnung des zur Parabel gehörenden Funktionsterms
Gegeben ist der Scheitel der Parabel. Benutze die Scheitelpunktsform.
Setze den aus der Abbildung abgelesenen Schnittpunkt mit der y-Achse ein.
Antwort: Die Parabel hat die Funktionsgleichung
Berechnung aller Schnittpunkte
Setze .
Umformung: -\frac{1}{2}\cdot x^2-2x+1
Bringe alle Terme auf eine Seite.
Umformung: \cdot 2
Du hast eine Gleichung Grades erhalten. Die Lösung erfolgt durch Polynomdivision.
Eine Lösung ist leicht zu finden (probieren):
Setze in die Gleichung ein
Teile nun durch den Linearfaktor :
Die verbleibende Gleichung hat die beiden Lösungen .
Berechne die Funktionswerte:
(siehe gegebenen Scheitelpunkt)
Antwort: Die drei Schnittpunktskoordinaten lauten:
Wie kannst du als bestimmtes Integral schreiben?
Da drei Schnittpunkte existieren, gibt es zwei Flächen, die die beiden Graphen einschließen. (In der obigen Abbildung ist die zweite Fläche nicht sehr deutlich erkennbar.)
Berechnung von
Die Zeile bei der Schnittpunktsberechnung ergibt:
Setze ein:
Berechnung von
Setze ein:
Antwort: Die beiden Graphen schließen eine Fläche mit dem Inhalt ein.
Zur Veranschaulichung eine Abbildung, in der die beiden Flächen deutlich erkennbar sind.
