Für jeden Wert von mit ist eine Gerade gegeben durch
.
a)
(2 BE)
Bestimmen Sie in Abhängigkeit von die Koordinaten des Punktes, in dem die -Ebene schneidet.
b)
(3 BE)
Für genau einen Wert von hat die Gerade einen Schnittpunkt mit der -Achse. Ermitteln Sie die Koordinaten dieses Schnittpunktes.
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Lösung Aufgabe a)
In der Aufgabe wird der Schnittpunkt einer Geraden mit einer Koordinatenebene verlangt.
Gegeben ist die von einem Parameter abhängige Geradengleichung
Man nennt solche eine Menge von (unendlich vielen) Geraden auch eine "Geradenschar" und den "Scharparameter").
Gesucht ist der von abhängige Schnittpunkt der Schargeraden mit der Koordinatenebene .
Eine Gerade schneidet die Koordinatenebene dann, wenn die -Koordinate des Ortsvektors der Geradengleichung Null ist.
Damit erhältst du folgende Vektorgleichung:
Mit erhältst du den Schnittpunkt der Geradenschar mit der -Ebene in Abhängigkeit vom Scharparameter so:
Der Schnittpunkt der Geradenschar mit der -Ebene hat die Koordinaten .
Alternative
Alternativ kannst du auch die Koordinatenform der -Ebene aufschreiben.
Schreibe dann die Geradengleichung als Punkt.
Setze die Koordinaten des Punktes in die Ebenengleichung ein und löse nach Lambda auf:
Setze den Wert für Lambda in die Geradengleichung ein.
Der Schnittpunkt der Geradenschar mit der -Ebene hat die Koordinaten .
Lösung Aufgabe b)
In der Aufgabe geht es um den Schnitt räumlicher Geraden mit der Lösbarkeit eines linearen Gleichungssystems.
Vorüberlegung
Eine Gerade, die zu einer Ebene nicht parallel ist, schneidet diese - wie auch Teilaufgabe a) zeigt - stets in genau einem Punkt.
Ob eine Gerade im Raum jedoch auch eine nicht zu ihr parallele Gerade schneidet, ist nicht sicher. Beide Geraden können - wie man sagt - "windschief"- zueinander verlaufen.
Du musst zeigen, dass genau eine Gerade der Schar die -Achse schneidet und somit zu ihr nicht windschief ist.
Du musst also zeigen, dass die Vektorgleichung
genau einen Wert und ein als Lösung besitzt.
Schreibe die ersten beiden Zeilen der Vektorgleichung als ein Gleichungssystem von zwei Gleichungen mit den Unbekannten und .
Mit ergibt sich für ein Schnittpunkt der Geraden mit der _Achse:
Also der Punkt S(0|0|3).