Nach einem Modell des britischen Ökonomen Thomas Malthus kann die Zahl der Weltbevölkerung in Abhängigkeit von der Zeit (in Jahren) näherungsweise durch folgende Funktionsgleichung beschrieben werden. (Einheiten werden nicht mitgeführt.)
, wobei gilt: und sowie und .
Dabei gibt die Bevölkerungszahl zum Zeitpunkt am 1.1.1800 an und ist ein Maß für die Wachstumsrate der Bevölkerung. Am 1.1.1950 betrug die Weltbevölkerung der Bevölkerung etwa Milliarden Menschen, und am 1.1.2050 werden etwa Milliarden Menschen weltweit erwartet.
Zeigen Sie, dass für die Werte und gilt: und .
Stellen Sie die Entwicklung der Weltbevölkerung zwischen 1.1.1800 und 1.1.2050 mit einem geeigneten Maßstab grafisch dar.
Entnehmen Sie einer entsprechenden Markierung im Diagramm der Aufgabe 2.2 zu einem beliebigen Zeitpunkt t das Zeitintervall , für das folgende Bedingung gilt: Zeigen Sie durch Rechnung, dass das Zeitintervall unabhängig vom Zeitpunkt ist, und berechnen Sie auf eine Nachkommastelle gerundet.
Die natürliche Tragfähigkeitsgrenze der Erde ist der Zeitpunkt , an dem die Maßzahl der zur Verfügung stehenden Nahrungsmittel
mit und ( in Jahren) nicht mehr größer ist als die Zahl der Weltbevölkerung . (Eine Nahrungsmitteleinheit entspricht zur Vereinfachung dabei einer Bevölkerungseinheit.) Bestimmen Sie mithilfe des Newton-Verfahrens den Zeitpunkt . Benutzen Sie als Startwert , führen Sie nur einen Näherungsschritt durch, runden Sie das Ergebnis auf ganze Jahre und geben Sie auch das entsprechende Jahr unserer Zeitrechnung an.