Es ist Sommer und du kaufst ein Eis. Du erinnerst Dich, dass bei Eispackungen im Supermarkt die Menge an Eis in Litern angegeben ist. Das bringt Dich dazu, das Volumen in deiner Eistüte bestimmen zu wollen!
- Nach Deiner Messung ist die Eistüte hoch und die Öffnung hat einen Durchmesser von . Wie viel Liter Eis befinden sich darin?
- Wie groß müsste Deine Eistüte sein, um dasselbe Volumen fassen zu können wie eine Packung mit Liter Eis?
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Teilaufgabe 1
Vorüberlegungen
Wenn Du den Rand deiner Eistüte betrachtest erkennst du einen Kreis. Die Spitze der Eistüte denkst Du dir als einen Punkt. Bei deiner Eistüte handelt es sich um einen Kegel.
Volumen eines Kegels
Du benötigst den Radius und die Höhe des Kegels. Die Höhe ist direkt gegeben und der Radius ist der halbe Durchmesser:
Berechne damit nun das Volumen.
Umrechnen
Für das Umrechnen von Litern gilt und
Beides zusammen ergibt
Rechne damit das Volumen der Eistüte um.
In die Eistüte passen also etwa Liter Eis.
Teilaufgabe 2
Vorüberlegungen
Du kannst die Eistüte auf verschiedene Arten vergrößern. Du kannst
- das Verhältnis von und so belassen wie bei deiner ursprünglichen Eistüte. Dabei würdest du und mit dem gleichen Faktor multiplizieren, also durch und durch ersetzen.
- das Verhältnis von und verändern und die Form deiner Eistüte verzerren. Zum Beispiel könntest du den dreifachen Radius und die halbe Höhe nehmen.
Nimm hier an, dass du die ursprüngliche Form der Eistüte beibehalten möchtest.
Aufstellen einer Gleichung
Du kannst bereits das Volumen einer Eistüte berechnen, wenn du und kennst.
Nun ist der Radius und die Höhe der größeren Eistüte aber unbekannt. Du multiplizierst Höhe und Radius mit einer Zahl , die du noch nicht kennst.
Du musst so wählen, dass das Volumen genau ist, was zu folgender Gleichung führt:
Lösen einer Gleichung mit einer Unbekannten
Also müsstest du dir deine Eiswaffel mit einem Volumen von Litern etwas weniger als doppelt so breit und hoch vorstellen, um das Volumen auf Liter zu erhöhen!