Ist die Schokolade zum Preis von oder die zum Preis von billiger? Um dies zu wissen, muss man zwei Dezimalzahlen miteinander vergleichen.
Hier gibt es zwei unterschiedliche Strategien. Zum einen der Vergleich von Nachkommastellen und zum anderen der Vergleich durch Komma verschieben. Zunächst wird die erste Strategie behandelt:
I. Vergleich der Nachkommastellen
- Zuerst betrachtet man die beiden "Vorkommazahlen". Das sind jeweils die Zahlen, die vor dem Komma stehen. Falls sie sich unterscheiden, so ist diejenige Zahl die größere, deren Vorkommazahl größer ist. Sind beide Vorkommazahlen identisch, gehe zu Schritt zwei.
- Als nächstes vergleicht man die beiden Zehntelstellen; das ist die erste Zahl, die hinter dem Komma steht. Diejenige Zahl, die die größere Zehntelstelle besitzt, ist dann automatisch die größere der beiden. Sind beide gleich, geht man zu Schritt drei.
- Als nächstes vergleicht man die Hundertstelstelle der beiden Zahlen, also die zweite Stelle hinter dem Komma. Beim Vergleich verfährt man wie in Schritt zwei. Sollte auch die wiederum gleich sein, so vergleicht man danach die Tausendstelstelle, dann die Zehntausendstelstelle und so weiter.
- Sind all diese Stellen auch identisch, so sind beide Zahlen gleich.
Beispiele
Vergleiche jeweils die beiden gegebenen Zahlen miteinander und entscheide mit dem obigen Vorgehen, welche der beiden Zahlen größer ist.
- und
Hier sind die beiden Vorkommazahlen und . Da größer als ist, ist größer als .
- und
Hier sieht man, dass vor dem Komma bei beiden Zahlen steht. Nun müssen wir zu Schritt gehen, also die Zehntelstellen vergleichen. Diese sind und . Da größer als , ist größer als
- und
Jetzt wird es etwas schwieriger: Beim Vergleich der beiden Zahlen sehen wir, dass die Vorkommastelle bei beiden ist. Auch die Zehntelstelle (das ist die ), die Hundertstelstelle (das ist die ) und die Tausendstelstelle (das ist die ) stimmen überein. Da bei 23,026 nun keine Ziffer mehr folgt, fügen wir eine Null am Ende hinzu, da Nullen hinter dem Komma den Wert eines Dezimalbruchs nicht ändern.
Vergleiche demnach und
Betrachten wir nun die Zehntausendstelstelle, so sehen wir, dass die größer ist als die , demnach ist größer als .
Häufige Fehler
- Das Komma weglassen
Ist 2,4 kleiner als 1,23? Schließlich ist 24 kleiner als 123.
Hier wurde einfach das Komma weggelassen und die Zahlen als natürliche Zahlen aufgefasst. Dies ist natürlich falsch. Mit der Strategie von oben, sehen wir in Schritt 1 beim Vergleich der Vorkommastelle, dass größer als ist. Also ist größer als .
- Das Komma trennt
Und wie ist es hiermit? 1,4 ist kleiner als 1,23. Denn schließlich ist 4 kleiner als 23
Hier sind die Vorkommazahlen gleich. Jedoch wurden hier alle Nachkommastellen auf einmal verglichen. Deswegen vergleichen wir aber immer nur eine Stelle nach der anderen. Mit der Strategie von oben sehen wir in Schritt 2 beim Vergleich der Zehntelstelle, dass größer als ist. Also ist größer als .
II. Vergleich durch Komma verschieben
Vergleichen wir 2 Zahlen miteinander, so ändert sich am Größenvergleich nichts, wenn wir beide Zahlen mit multiplizieren.
Beispielsweise statt mit zu vergleichen kann man auch und vergleichen.
Nun verschiebt eine Multiplikation mit gerade das Komma, um eine Stelle nach rechts. Darum multiplizieren wir beide Zahlen nun so lange gleich oft mit , bis beide Zahlen natürliche Zahlen sind.
Das bedeutet:
Nun vergleichen wir diese beiden natürlichen Zahlen
Beispiele
- und
Multipliziere mit
und
Multipliziere mit
und
Multipliziere mit
und
ist kleiner als
Demnach ist kleiner als .
Anmerkung: Natürlich kann man mit ein bisschen Übung auch gleich mit multiplizieren statt dreimal mit zu Multiplizieren.
Häufiger Fehler
Vergleiche 2,4 und 1,31. Wir multiplizieren bei jeder Zahl solange mit 10 bis die Kommas weg sind und erhalten 24 und 131. Also ist 1,31 größer als 2,4?
Nein. Hier wurde einmal mit und zweimal mit multipliziert. Um beide Zahlen vergleichen zu können, müssen wir sie aber gleich oft mit multiplizieren. Multiplizieren wir auch zweimal mit , erhalten wir und dies ist natürlich größer als .