Der Umfang eines Dreiecks beträgt cm. Welche Aussage trifft daher für die Länge der Seite zu? Kreuze an.
Lösung anzeigen
Für jedes Dreieck gilt:
Die Länge einer Dreiecksseite muss immer kleiner sein als die Summe der Längen der anderen beiden Seiten.
In Formeln:
Lösung
Es ist:
Wenn die Seite nicht kürzer als ist, bleiben für die anderen beiden Seiten zusammen höchstens . Das kann aber nicht sein, weil diese beiden Seiten zusammen länger als die Seite sein müssen.
Eine Seitenlänge von für ist aber möglich, etwa , .
Grafische Begründung
Wenn die Seite ist, erfüllen die Seiten die Dreiecksgleichung. Für die anderen Seiten ist sozusagen noch genügend Strecke da, um ein Dreieck zu bilden.
Wenn ist, bleiben für die anderen Strecken ebenfalls nur . Die Seiten können sich nicht in einem Punkt verbinden, außer sie liegen auf . Dabei entsteht allerdings auch kein Dreieck.
Wenn ist, bleiben für die anderen Strecken noch weniger als übrig. Die Seiten können sich nicht in einem Punkt verbinden. Das ergibt kein Dreieck.
Für den Fall, dass kann ein Dreieck entstehen, es lassen sich aber auch Gegenbeispiele finden. Diese Antwort ist allgemein also auch nicht richtig.
Herleitung der Lösung (Beweis)
So kann man die Richtigkeit der Aussage herleiten:
Die Seite ist kürzer als die Summe der anderen Seitenlängen:
, oder andersherum
Der Umfang ist die Summe der drei Seitenlängen:
cm
Also ist
Wenn du diese beiden Aussagen kombinierst, bekommst du die Ungleichung
,
und damit
, also