Gegenstand einer Steckbriefaufgabe ist die exakte Bestimmung eines Funktionsterms anhand von vorgegebenen Informationen (z.B. Position von Nullstellen, Hochpunkten etc.).
Dieser Artikel behandelt nur Funktionsterme in Form von Polynomen.
Eine beispielhafte Aufgabe wäre:
Finde eine Funktion . Grades, die eine doppelte Nullstelle bei besitzt und durch den Punkt verläuft.
Beispiel
Im folgenden Video siehst du ein Beispiel für eine Steckbriefaufgabe und wie du sie lösen kannst.
{
"src": "https://youtu.be/-C3227uS794",
"alt": ""
}Der allgemeine Ansatz
Als erste Information benötigt man den Grad der zu bestimmenden Funktion. Davon ausgehend, lässt sich die allgemeine Funktionsgleichung aufstellen. Ziel ist es nun, die Unbekannten , , zu bestimmen. Dazu sind mehrere Informationen erforderlich, die jeweils unterschiedliche Gleichungen liefern. Zum Beispiel resultiert aus der Information, dass ein gegebener Punkt auf dem Funktionsgraphen liegt, die Gleichung
Mehrere Bedingungen führen zu mehreren Gleichungen, die zusammen ein lineares Gleichungssystem ergeben, dessen Lösung die Koeffizienten , , sind.
Von der Information zur Gleichung
Ein großer Teil der Arbeit bei dieser Problemstellung liegt im Aufstellen der zu einer Information zugehörigen Gleichungen. In der folgenden Tabelle steht links jeweils die gegebene Information, in der Mitte die allgemeine Gleichung, die daraus resultiert und rechts ein erläuterndes Beispiel.
In den folgenden drei Abschnitten wird hinsichtlich der Anzahl an Gleichungen, die eine Information liefert, unterschieden.
Einfache Information
Sei die allgemeine Funktion f beispielhaft vom Grad :
Information | allgemeine Gleichung (am Beispiel von Gleichungen vom Grad 3) | Beispiel |
|---|---|---|
besitzt eine Nullstelle () bei |
| |
verläuft durch | : | |
hat eine Extremstelle () bei |
| |
hat eine Wendestelle () bei | : |
Beispiel - Polynom vom Grad 2
Gesucht ist eine Funktion vom Grad 2, die eine Nullstelle bei besitzt, durch den Punkt verläuft und ein Minimum bei besitzt.
Im Folgenden sind die Informationen mit den jeweils resultierenden Gleichungen dargestellt:
Information | Mathematische Beschreibung | Gleichung |
|---|---|---|
Funktion vom Grad | ||
Besitzt eine Nullstelle bei | ||
Verläuft durch den Punkt | ||
Besitzt ein Minimum bei |
Daraus ergibt sich folgendes Gleichungssystem:
mit der eindeutigen Lösung
, ,
also hat die Form
Mehrfache Information
Viele Aussagen verraten uns mehrere Informationen auf einmal.
Die folgende Tabelle stellt die Aussagen den eigentlichen Informationen gegenüber.
Aussage | Einfache Informationen |
|---|---|
besitzt eine doppelte Nullstelle bei |
|
besitzt einen Extrempunkt bei |
|
besitzt einen Wendepunkt bei |
|
besitzt eine Sattelstelle bei |
Beispiel - Polynom vom Grad 3
Formulierung | Mathematische Bedeutung |
|---|---|
Gesucht ist eine Funktion vom Grad , | , , |
die eine doppelte Nullstelle bei | |
und einen Extrempunkt bei hat. |
Daraus ergibt sich folgendes Gleichungssystem:
mit der eindeutigen Lösung
also hat die Form
Besondere Informationen
Aus manchen Informationen resultieren noch stärkere Aussagen als die bisher beschriebenen.
Information | Auswirkung | Beispiel |
|---|---|---|
ist achsensymmetrisch zur -Achse | alle Variablen vor ungeraden Potenzen von entfallen |
wird zu |
ist punktsymetrisch zum Ursprung | alle Variablen vor geraden Potenzen von entfallen |
wird zu |