Gegeben ist die Funktion mit .
Bestimme diejenige Stammfunktion, deren Graph durch den Punkt verläuft.
Lösung anzeigen
Eine Stammfunktion ist das unbestimmte Integral .
Allerdings kann zu jeder Stammfunktion eine beliebige Zahl addiert werden, da diese konstante Zahl beim Ableiten wegfällt. Also gilt: mit
Stammfunktionen von einer Potenzfunktion der Form sind für gegeben durch:
Die gegebene Funktion ist eine Potenzfunktion.
Die kann als Potenz geschrieben werden:
Also ist
Integriere mit Hilfe der Schreibweise als Potenz.
Setze ein.
Beachte die Potenzregel. Addiere in Exponenten eine und teile durch den neuen Exponenten.
Vereinfache.
Multipliziere mit dem Kehrwert von .
Vereinfache.
Kürze den Bruch.
Du hast die Stammfunktion erhalten. Addiere noch die Konstante .
Setze nun den Punkt in ein, um die Konstante zu bestimmen.
Setze den Punkt in ein.
Vereinfache und .
Umformung: -4
Löse nach auf.
Mit lautet die gesuchte Stammfunktion .
Antwort: Der Graph der Funktion verläuft durch den Punkt .