Sei , mit . Zeige: ist genau dann eine lineare Abbildung, wenn .
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Voraussetzung
Lineare AbbildungenStrategie
Schritte
Beweischschrit: Wenn linear ist, ist .
Sei zunächst eine lineare Abbildung. Weil lineare Abbildungen den Ursprung auf den Ursprung abbilden, muss gelten. Nun ist und damit muss sein.
Beweisschritt: Wenn ist, ist linear.
Sei nun . Wir zeigen , ist linear:
Beweisschritt: Additivität
Seien und zwei beliebige reele Zahlen. Es ist
Gleichungsumformung
Definition von
Distributivgesetz
Definition von
Beweisschritt: Homogenität
Sei und zwei reele Zahlen. Es ist
Gleichungsumformung
Definition von
Definition von
Also ist genau dann eine lineare Abbildung, wenn ist.